1. "J'ai des principes et des valeurs"
Tu comptes 8 syllabes, le site en compte 9. Qui a raison ? À première vue, tu as raison, voici pourquoi :

Ton découpage :
"J'ai / des / prin/ci/pes et / des / va/leurs"
=> 8 syllabes

Le découpage du site :
"J'ai / des / prin/ci/pes / et / des / va/leurs"
=> 9 syllabes

Ce qui se passe ici, c'est une affaire d'élision, notamment sur le "s" de "principes". En français, dans la poésie classique ou même dans la prosodie naturelle de tous les jours, on a tendance à lier les sons. Ce "s" final de "principes", qui devrait normalement être muet, se fond dans la liaison avec le "et" qui suit, donc tu ne devrais pas le compter comme une syllabe distincte. Donc 8 syllabes, c'est ce qui fait le plus de sens.

Le site ne prend probablement pas en compte cette liaison naturelle, et donc ajoute une syllabe supplémentaire qui est techniquement superflue.

2. Pour les mots en "ion" comme "attention"
La question des mots en "ion" est délicate mais claire. Prenons "attention" :

Découpage du site :
"at / ten / ti / on"
=> 4 syllabes

Et c'est correct. En français, les terminaisons en "ion" comptent pour deux syllabes, car le "i" et le "on" sont prononcés distinctement. Ça fait donc : "at-ten-ti-on". C'est bien 4 syllabes.

Conclusion
"J'ai des principes et des valeurs" : 8 syllabes, tu as raison.
"Attention" et autres mots en "ion" : 4 syllabes, le site a raison.
En gros, tout est une question de règles et de contexte, mais l'usage veut que les liaisons et les élisions soient respectées dans le comptage naturel des syllabes.