Boucling

Ce qu'il y a de plus FASCINANT dans les MATHS : les nombres premiers, Pi ou les topos ?

138 messages

Mise à jour: il y a 7 mois

2
SI

simplelogin

il y a 7 mois

Sinon clairement les topos c'est le plus intrigant même si j'ai la flemme et pas le temps de me mettre à la théorie des catégories pour comprendre le truc.

Alain Connes a beau dire "la définition catégorique permet pas de saisir la portée des topos", mais avec les définitions intuitives je me dis "ok c'est bien mais concrètement ça se manipule comment cette merde ?"

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Bougnador : pour le moment oui, ça se cantonne à caramello et lafforgue c est surtout lafforgue, comme tu l as dit, qui la pousse à l ihes et dans les cercles parisiens de mathématique Serre dirait que c est une secte grothendieckienne

Sinon ouais, caramello sent bien l importance de la théorie, mais elle n a pas les épaules assez larges pour mener à bien cette refondation il faudrait un nouveau Grothendieck dans l idéal un type assez barge pour se perdre dans l écriture de milliers de pages de théories générales

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois

Un truc qui me passionne également mathématiquement, comme je l'expliquais plus haut, c'est le zero calorifique absolue.

Et quelque part, j'ai l'impression qu'il est également lui même lié au mystère de pi.

L'humanité s'évertue à chercher à se rapprocher du zero absolu en laboratoire.

Mais, si nous faisions fausse route ?
S'il ne fallait pas chercher à supprimer l'apport calorique, mais au contraire à l'augmenter, pour atteindre un point de fusion transcendentale permettant de briser un paradigme dimensionnel.
Une temperature qui, une fois dépassée, permettrait d'atteindre un état de superfluide ou la matière se deplacerait si rapidement qu'elle serait présente en tout point de l'espace et du temps, offrant ainsi dans cette omniprésence une consistance à l'absence de mouvement et de temps.

Une sorte d'anti-pi.

Et on pourrait alors se poser la question, ne serait-ce pas pi qui ralenti la vitesse de la lumière ?

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Les plus gros regrets de l histoire des maths contemporaines c est que Serre soit trop pragmatique et que Grothendieck était trop dinguo

SI

simplelogin

il y a 7 mois

De toute façon j'ai avorté ma vocation pour les mathématiques fondamentales j'ai pas les épaules

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


Putain le mec met à côté les topos et les décimales de pi

La définition de topos figure certainement une infinité de fois dans les décimales de pi

Et en vrai, comme question adressée au forum, c'est pas inintéressant. Pour preuve, nous avons ici un khey déter qui semble fasciné au plus haut point par les décimales de pi

D'ailleurs, autre truc sur les nombres univers. J'ai expliqué quelques raisons de ne pas être émoustillé par cette notion (très facile d'en construire, l'immense majorité des nombres vérifie cette propriété). Mais sans aller jusque là : c'est une notion qui ne porte pas directement sur un nombre mais sur son développement décimal. Une fois qu'on est avancé dans les études mathématiques, on se rend compte que la notion de développement décimal est plus arbitraire, moins naturelle que celle de nombre, d'addition, de multiplication, de division. C'est un peu comme la nuance entre un concept et le choix orthographique d'une chaîne de caractères (d'un mot) pour le désigner : je force le trait mais y a un peu de ça.

Un lycéen verra un nombre comme la même chose que son développement en base 10. Un étudiant de master verra probablement un nombre comme une entité pure qu'on peut certes représenter en base 10 mais qu'on peut représenter d'autres façons, et étudier indépendamment de ses représentations. Et quand on est rendu plus loin, on peut se rendre compte qu'en vrai, le développement décimal (ou en n'importe quelle base), c'est vrai que c'est pas de la merde, que c'était une des grandes conquêtes de nos ancêtres : ça permet de représenter de façon commode et maniable les nombres, tout en rendant les opérations pas galère à poser. Les nombres ne sont pas leurs développements décimaux mais le développement décimal est une bonne façon de représenter les nombres.

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


Quelqu'un peut me faire un topo sur les topos ?

Un exposé de Connes sur youtube s'appelle comme ça et constitue une réponse à ta question.

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois


De toute façon j'ai avorté ma vocation pour les mathématiques fondamentales j'ai pas les épaules

Je te comprend, j'en suis là également, je n'excelle que dans la metaphysique.

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


Quelqu'un peut me faire un topo sur les topos ?

SI

simplelogin

il y a 7 mois

Un exposé de Connes sur youtube s'appelle comme ça et constitue une réponse à ta question.

Aya oui je sais, c'est une blague, je jeu de mot m'explose de rire, j'ai du la voir 2/3 fois sur plusieurs années, j'ai toujours rien confruit

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


Bougnador : pour le moment oui, ça se cantonne à caramello et lafforgue c est surtout lafforgue, comme tu l as dit, qui la pousse à l ihes et dans les cercles parisiens de mathématique Serre dirait que c est une secte grothendieckienne

Sinon ouais, caramello sent bien l importance de la théorie, mais elle n a pas les épaules assez larges pour mener à bien cette refondation il faudrait un nouveau Grothendieck dans l idéal un type assez barge pour se perdre dans l écriture de milliers de pages de théories générales

Le nouveau Grothendieck, il s'appelle Peter Scholze. Avec Dustin Clausen, ils renouvellent les choses à gros coups de tractopelle

Grothendieck n'a pas hésité à introduire plein de notions nouvelles pour déployer sa pensée. Scholze et Clausen font pareil. Plutôt que de tenir à tout prix à sacraliser le mot "topos", ils suivent le flux des idées, poussant les anciennes idées quand c'est ce qui est à faire, ouvrant de nouveaux concepts et théories quand c'est plus adapté (condensed sets, analytical stacks).

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Simplelogin : alain connes a une approche plus pragmatique, il utilise le cadre théorique des topos afin d établir une algèbre homologique de caractéristique 1 qui permettrait la résolution du problème de riemann-roch ce sont ses travaux les plus récents. Y a un article avec cancini sur arxiv je crois, intéressant à consulter

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


Les plus gros regrets de l histoire des maths contemporaines c est que Serre soit trop pragmatique et que Grothendieck était trop dinguo

Etait-ce évitable ? J'veux dire, c'est peut-être le défaut de leurs qualités, un revers nécessaire de la médaille ?

En tout cas, malgré ces caractéristiques, l'un comme l'autre ont su apporter leurs murailles à l'édifice

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Elbougnador : oui bien sûr, c est comme ça que fonctionnait grothendieck aussi, il n aimait pas sécher.

Mais je trouve néanmoins Scholze plus pragmatique que Grothendieck sa théorie ne donne pas les vertiges métaphysiques que donnait le big G ce dernier qui s en foutait totalement du programme de Langlands c est significatif

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

El bougnador : mais je suis d accord, la filiation Serre-Grothendieck-Deligne-Scholze est goatesque

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Issr

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Up

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois

Pour résumer, le topos, c'est juste la logique d'un champs donné ?

CL

Clavip

il y a 7 mois

Est-ce qu'il y a d'autres nombres comme pi qui sont des rapport de proportionnalité de forme géométrique simple comme le cercle et qui sont aussi des nombres univers, ou qui ont également des propriétés aussi exceptionnelles ?
Comme par exemple racine de 2 qui est la distance entre deux sommets opposés dans un carré ?

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Racine de 2 n est pas transcendant

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Emperor : c est plus la structure cachée

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Ahi

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois


Est-ce qu'il y a d'autres nombres comme pi qui sont des rapport de proportionnalité de forme géométrique simple comme le cercle et qui sont aussi des nombres univers, ou qui ont également des propriétés aussi exceptionnelles ?
Comme par exemple racine de 2 qui est la distance entre deux sommets opposés dans un carré ?

Il existe quelque part des variantes de pi.

Pi permet de calculer la circonférence d'un cercle.
C = 2 pi r permet de calculer la circonférence d'une sphère.
On peut également calculer la circonférence d'une hyper-sphère en complexifiant le procédé.

Mais si toutes ces notions gravitent autours de pi et autours du cercle, c'est aussi car la notion de cercle parfait n'existe pas, et il faut s'intéresser à la théorie du chaos universel pour comprendre cet état de faits.

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

Un topos, c'est "la théorie des ensembles déployée vue par des observateurs".

Si tu prends la théorie des ensembles usuelle, c'est la théorie des ensembles vue par une personne. La théorie des ensembles, c'est l'univers des mathématiciens. Mais côté de point de vue, c'est une personne, un ensemble à 1 élément. Le topos "Ensembles", l'univers de toutes les maths n'est donc que la version déployée de l'espace tout bête à UN point.

Si tu dupliques la théorie des ensembles (à chaque fois que tu veux choisir un ensemble, tu t'en donnes deux à la place), là tu as un autre topos. Je galérerais à expliquer l'espace sous-jacent.

Mais par exemple, l'espace à 2 points, ça donnerait quoi côté topos ? Quand on a 2 points, il y a 4 parties possibles : ne rien garder, garder 1, garder 2 ou garder 1et2. Le topos, ce serait "quand je dois me donner un ensemble, je m'en donne en fait quatre, avec des conditions de compatibilités qui reflètent les relations entre ces quatre parties".

Quand on a un espace topologique, on a ses ouverts. Le topos associé, c'est se donner un ensemble pour chacun de ces ouverts, avec des conditions de compatibilité sur les choix d'ensembles qui reflètent les relations qu'entretiennent nos ouverts.

On a la notion de fonction continue sur les espaces topologiques séparés. On a une notion morphisme entre topos ("des morphismes d'univers"). Il se trouve que si tu choisis un espace topologique séparé X et que tu me donnes le topos associé à isomorphisme près, alors je peux retrouver X à isomorphisme près. Et les fonctions continues d'un espace topologique séparé X vers un autre X' sont liées aux morphismes de topos de Topos(X) vers Topos(X').

En fait, il y a deux définitions des topos de Grothendieck : abstraite ou concrète. La définition concrète généralise la précédente. On se rend compte qu'au lieu d'avoir des ouverts, la définition précédente peut s'appliquer dès qu'on a des "trucs" qui se comportent un peu comme des ouverts. En tout cas, des choses pour lesquelles on peut formuler nos conditions de compatibilité. Cette généralisation donne lieu aux sites. A tout site, on peut associer un topos.

Mais on peut aussi définir un topos comme une catégorie vérifiant certaines propriétés sympathiques. En première approximation, on peut dire que c'est une catégorie qui permet les mêmes manipulations que ce qu'on fait en théorie des ensembles, sauf qu'on n'a pas forcément le tiers exclu ni l'axiome du choix.

Un théorème dit ensuite que la définition concrète et la définition abstraite définissent en fait la même notion.

Si tu veux comprendre ce qu'est un topos, la marche à suivre est de commencer par comprendre les notions de préfaisceaux puis de faisceau. Ces notions servent à comprendre les notions de restriction et de recollement. Les topos viennent après cela

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois


Emperor : c est plus la structure cachée

De ce que j'en comprend, on definit pas un topos la logique des mathematiques euclidienne, par un autre topos, la logique des mathematiques non euclidiennes etc etc ?

NI

Nipponerie

il y a 7 mois


Je parle évidemment de la distribution des nombres premiers dans le premier cas (son explication permettrait la résolutions des trois problèmes essentiels de la théorie des nombres : l'hypothèse de Riemann, celle de Goldbach (forte) et le problème des nombres premiers jumeaux).

Inutile de présenter Pi la rockstar des maths avec e et i nombre transcendant par excellence (aucun polynôme à coefficients entiers ne saurait l exprimer en tant que racine), on ne sait mêne pas de quelle classe de transcendance il appartient, il serait même un nombre univers ! (Toutes les suites finies d'entiers seraient contenus dans son infini développement décimal). Et puis, plus simplement c est le rapport du périmètre d'un cercle avec son diamètre il n'y a rien de plus universel que ce rapport

Pour le topos, c'est un peu plus abstrait en la définition arride du topos c'est qu'il est une catégorie de faisceaux d'ensembles qui "ouvrent" sur un espace topologique bon c est moins intuitif que p ou que pi... mais philosophiquement, le topos est une généralisation substantielle de la notion d espace ! Il permet à ce qu'un espace soit "paramétrée" (par exemble avec t, le temps), ce qui confère aux "points" de cet espace un dynamisme, ou plutôt une variabilité (au sens algébrique)... l'espace topologique devient un espace RELATIF ! La portée de cette notion est métaphysique : les objets mathématiques n'ont plus d existence en soi et pour soi, ils sobt l émanation d une structure fine et discrète, cachée, celle du topos. Appliquée à la théorie de la logique, la notion de topos élimine l axiome du tiers exclu, et par conséquent la notion de vérité absolue... il n y a plus que des valeurs valeurs de vérité... Le topos est hypothétiquement, rêveusement, ce qui permettrait d'unifier intimiment, par un jeu de correspondances structurelles, l'ensemble des branches mathématiques...

Lequel de ces "objets" vous fascine le plus ?

Persoent :

1-Topos
2-Répartition des nombres premiers
3-Pi

Pi c'est un truc de ouf.

Déjà un nombre Infini qui ce répète jamais, truc de ouf, le truc apparaît partout sans qu'on sache pourquoi on dirait la clef de l'univers le bordel

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


Pour résumer, le topos, c'est juste la logique d'un champs donné ?

On pourrait éventuellement dire que c'est un langage permettant d'appréhender la géométrie de la logique et la logique de la géométrie.

En un sens basique, c'est déjà ce que fait la topologie générale. La théorie des ensembles est liée à la logique (partie = propriété). Puis la topologie manipule des ensembles particuliers (ouverts) qui peuvent servir à formaliser des objets géométriques mais ont aussi une portée "logique" : voir le premier spoil ici https://www.jeuxvideo.com.com/forums/message/1022441949

Les topos font ça de façon nettement plus avancée. Et extrêmement algébrique. En unifiant discret et continu.

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

Bonne nuit

OP
ES

EnSofTsimTsoum

il y a 7 mois

Bonne nuit mec, cet échange était intéressant

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois

On pourrait éventuellement dire que c'est un langage permettant d'appréhender la géométrie de la logique et la logique de la géométrie.

En un sens basique, c'est déjà ce que fait la topologie générale. La théorie des ensembles est liée à la logique (partie = propriété). Puis la topologie manipule des ensembles particuliers (ouverts) qui peuvent servir à formaliser des objets géométriques mais ont aussi une portée "logique" : voir le premier spoil ici https://www.jeuxvideo.com.com/forums/message/1022441949

Les topos font ça de façon nettement plus avancée. Et extrêmement algébrique. En unifiant discret et continu.

Je comprend dans les grandes lignes.
Et je comprend du coups le champs des applications mathematiques possibles que ça inclu.
C'est de la ritaline pour mathématicien, ça offre des outils nouveaux pour calculer les choses en passant par des chemins de traverses.

Ça me laisse tout de même sur ma faim comparé à Pi.
Comme le dit le khey au dessus, pi c'est la clé de l'univers.
Les topos, ce sont des outils pour essayer de briser cette clé sous différents paradigmes.

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois

Et bonne nuit ElBougnadore.

EC

EmperorCavaleri

il y a 7 mois

Up !

MA

Mantaria

il y a 7 mois


Et rien ni personne ne déchiffrera jamais la logique d'apparition des nombres premiers car tout simplement il n'y a aucune logique mathématique dans leur apparition.
Qu'un nombre soit premier ou non découle juste du hasard total.

Bah si y'a une logique puisqu'on a des théorèmes sur leur densité

M1

manoamano14

il y a 7 mois

La relativité restreinte

H5

h564kh

il y a 7 mois

Les mathématiques sont fascinantes dans leur ensemble. J'ai une fascination pour les graphes. Je ne sais pas pourquoi. J'ai tendance à tout me représenter sous mon forme de graphe. Je trouve ça très beau.
Sinon pour répondre, je dirais les topos parce que tu nous les as bien vendues (mais j'y connais rien).

JG

josiGOAT2

il y a 7 mois

Les nombres premiers c'est passionnant et l'hypothèse de Riemann est un problème magnifique, j'adore la dualité entre eux et les zeros de zêta, le fait que l'information sur un objet discret soit codée à partir d'onde je pense que ça dit quelque chose de profond https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

Le problème c'est qu'au final prouver RH ça ressemble un peu à la même chose que prouver que pi est un nombre normal, tu as une séquence déterministe qui semble respecter une distribution probabiliste https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

Par contre on sait prouver facilement que la plupart des nombres sont normaux (au sens où la densité de ceux qui ne le sont pas est nulle) https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

JG

josiGOAT2

il y a 7 mois

Bah si y'a une logique puisqu'on a des théorèmes sur leur densité

Les nombres premiers sont localement bordeliques dans un certain sens par contre globalement leur distribution est complètement encodée dans le comportement de la fonction Zeta de Riemann https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

Les nombres premiers sont localement bordeliques dans un certain sens par contre globalement leur distribution est complètement encodée dans le comportement de la fonction Zeta de Riemann https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

Bien résumé

Ca me parle aussi ce que tu dis !

D'ailleurs, les topos sont des catégories jouissant de bonnes propriétés. Et une catégorie, c'est un gigantesque graphe orienté (avec arêtes multiples autorisées) où, de plus, il y a une loi de composition sur les arêtes. Donc ce n'est pas qu'un graphe, c'est une structure plus riche mais il y a une légère parenté en un sens.

A part ça, rien à voir mais pour faire le pont entre pi et topos : les deux trucs dont Grothendieck était le plus content étaient les topos et les motifs. Or la théorie des périodes est intimement liée à celle des motifs, elle en est une manifestation. Et pi est un exemple typique de période intéressante
https://www.jeuxvideo.com.com/forums/message/1251120855
https://www.jeuxvideo.com.com/forums/message/1251159071

GF

GusFroc

il y a 7 mois

source : wallah

en plus c'est l'inverse qui est vrai

ED

EjacDivine3

il y a 7 mois

moi ce qui me fascine le plus c'est les démonstrations probabilistes de théorème d'arithmétique
C'est hallucinant

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

source : wallah

en plus c'est l'inverse qui est vrai

Bah il n'a pas tort : si on comprenait finement comment les nombres premiers se répartissent, alors on saurait répondre aux questions naturelles qui se posent, notamment ces trois problèmes ouverts.

Concernant l'hypothèse de Riemann, elle est bien équivalente à un énoncé bien précis raffinant le théorème des nombres premiers. Ainsi, entre l'hypothèse de Riemann et cet énoncé, le lien "fonctionne dans les deux sens". Si un jour on parvient à démontrer l'hypothèse de Riemann, reste à voir si ce sera plutôt en comprenant zêta, plutôt en comprenant la répartition des nombres premiers, ou bien en passant par un autre des assez nombreux énoncés équivalents à l'hypothèse de Riemann.

JG

josiGOAT2

il y a 7 mois

Bah il n'a pas tort : si on comprenait finement comment les nombres premiers se répartissent, alors on saurait répondre aux questions naturelles qui se posent, notamment ces trois problèmes ouverts.

Concernant l'hypothèse de Riemann, elle est bien équivalente à un énoncé bien précis raffinant le théorème des nombres premiers. Ainsi, entre l'hypothèse de Riemann et cet énoncé, le lien "fonctionne dans les deux sens". Si un jour on parvient à démontrer l'hypothèse de Riemann, reste à voir si ce sera plutôt en comprenant zêta, plutôt en comprenant la répartition des nombres premiers, ou bien en passant par un autre des assez nombreux énoncés équivalents à l'hypothèse de Riemann.

D'ailleurs l'énorme nombre d'équivalents (essentiellement arithmétiques mais pas que) à RH en dit long sur la profondeur du problème, on en est tellement loin https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

Par contre y a des détails sur les nombres premiers qui ne sont pas forcément couvert de manière optimal par RH notamment les sauts entre nombres premiers, RH dit que chaque gap est O(sqrt(p)*log(p)) mais on pense que le gap max est en faite bien plus petit, si on va loin il y a la conjecture de Cramer qui dit que chaque gap est en O(log^2(p)) ce qui est beaucoup plus fort (et supporter par les essais numériques mais ça... c'est pas forcément un bon indicateur). Par contre on sait que le saut moyen c'est log(p), merci le théorème des nombres premiers https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

N2

Nosk2

il y a 7 mois

J'ai rien compris aux explications de l'auteur sur les topos, première fois que je vois ce mot, existe-t-il des articles/vidéos de vulgarisation ? Ca m'intéresse

EI

EIBougnador

il y a 7 mois


J'ai rien compris aux explications de l'auteur sur les topos, première fois que je vois ce mot, existe-t-il des articles/vidéos de vulgarisation ? Ca m'intéresse

Tu peux chercher les "Leçons de mathématiques contemporaines" d'Yves André ou les vidéos youtube contenant le mot topos et faisant intervenir Lafforgue, Connes ou Dugowson. Il y a aussi https://www.youtube.com/watch?v=gKYpvyQPhZo&list=PL4FD0wu2mjWM3ZSxXBj4LRNsNKWZYaT7k

Mais c'est une notion assez abstraite et technique donc pas le genre de truc le plus simple à vulgariser. Je me suis néanmoins prêté à ce jeu à la page précédente du présent topax.

Sinon, dans la vidéo "Un topo sur les topos", Connes cite un passage où Grothendieck évoque littérairement cette notion, par métaphore. C'est une évocation non technique.

EB

Ebullition

il y a 7 mois

Le fait qu'on ne puisse pas prouver l'hypothèse du continu de Cantor me fascine. https://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

H1

Hischier1313

il y a 7 mois


Le fait qu'on ne puisse pas prouver l'hypothèse du continu de Cantor me fascine. https://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

J'avoue que c'est un exemple vraiment cool d'énoncé indécidable mais plus généralement le plus fascinant c'est le théorème de Gödel https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

J'avoue que c'est un exemple vraiment cool d'énoncé indécidable mais plus généralement le plus fascinant c'est le théorème de Gödel https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

Je trouve l'hypothèse du continu ou le dixième problème de Hilbert plus frappants, au sens où ils disent que des questions naturelles n'admettent pas de réponse dans le cadre usuel des maths.
En lien : http://www.madore.org/~david/weblog/d.2024-09-13.2804.guessing-numbers.html#d.2024-09-13.2804

Le théorème d'incomplétude de Gödel dit, dans tout système raisonnable, on peut crafter un énoncé à la con qui mime de façon légit "cette phrase est fausse" et qui doit donc être indécidable. C'est un peu moins frappant qu'avoir un énoncé qui poppe naturellement et se trouve être indécidable.

Par contre, la force du théorème d'incomplétude de Gödel, c'est qu'il ne s'applique pas qu'au cadre usuel dans lequel on fait des maths, mais à tout cadre raisonnable dans lequel faire des maths. Pour chaque tel cadre, il existe un énoncé (qui dépend du cadre) qui est indécidable.

Garder à l'esprit également le théorème de complétude de Gödel. Imagine que tu as une théorie. Par exemple, ma théorie, c'est "Axiome : toute voiture rouge va vite". Imagine maintenant que tu as un énoncé indécidable, c'est-à-dire ni réfutable ni démontrable dans ta théorie : dans notre exemple, ça pourrait être "toute voiture qui va vite est rouge".

L'énoncé de mon exemple est bien indécidable puisqu'on peut imaginer des mondes qui vérifient ma théorie et où l'énoncé est vrai (par exemple un monde avec que des ferrari rouges) mais aussi d'autres mondes qui vérifient ma théorie et où l'énoncé est faux (par exemple un monde avec des ferrari rouges et d'autres bleues). La théorème de complétude de Gödel dit qu'à chaque fois qu'on a un énoncé indécidable, c'est précisément pour cette raison : on peut trouver deux mondes (on dit des "modèles") vérifiant la théorie, l'un où l'énoncé est vrai, l'autre où il est faux

Moi celui qui me fait plus tilter, c'est le théorème d'indéfinissabilité de la vérité de Tarski

H1

Hischier1313

il y a 7 mois

Je trouve l'hypothèse du continu ou le dixième problème de Hilbert plus frappants, au sens où ils disent que des questions naturelles n'admettent pas de réponse dans le cadre usuel des maths.
En lien : http://www.madore.org/~david/weblog/d.2024-09-13.2804.guessing-numbers.html#d.2024-09-13.2804

Le théorème d'incomplétude de Gödel dit, dans tout système raisonnable, on peut crafter un énoncé à la con qui mime de façon légit "cette phrase est fausse" et qui doit donc être indécidable. C'est un peu moins frappant qu'avoir un énoncé qui poppe naturellement et se trouve être indécidable.

Par contre, la force du théorème d'incomplétude de Gödel, c'est qu'il ne s'applique pas qu'au cadre usuel dans lequel on fait des maths, mais à tout cadre raisonnable dans lequel faire des maths. Pour chaque tel cadre, il existe un énoncé (qui dépend du cadre) qui est indécidable.

Garder à l'esprit également le théorème de complétude de Gödel. Imagine que tu as une théorie. Par exemple, ma théorie, c'est "Axiome : toute voiture rouge va vite". Imagine maintenant que tu as un énoncé indécidable, c'est-à-dire ni réfutable ni démontrable dans ta théorie : dans notre exemple, ça pourrait être "toute voiture qui va vite est rouge".

L'énoncé de mon exemple est bien indécidable puisqu'on peut imaginer des mondes qui vérifient ma théorie et où l'énoncé est vrai (par exemple un monde avec que des ferrari rouges) mais aussi d'autres mondes qui vérifient ma théorie et où l'énoncé est faux (par exemple un monde avec des ferrari rouges et d'autres bleues). La théorème de complétude de Gödel dit qu'à chaque fois qu'on a un énoncé indécidable, c'est précisément pour cette raison : on peut trouver deux mondes (on dit des "modèles") vérifiant la théorie, l'un où l'énoncé est vrai, l'autre où il est faux

Moi celui qui me fait plus tilter, c'est le théorème d'indéfinissabilité de la vérité de Tarski

Ha oui après qu'un truc soit indécidable dans une axiomatique n'implique pas qu'il le soit dans toute, on s'entends https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

Pour le théorème de Tarski si je dis pas de bêtise historiquement Gödel l'a prouvé dans une lettre adressée à je ne sais plus qui et c'est une des raisons qui l'ont poussé à construire son théorème https://image.noelshack.com/fichiers/2018/01/2/1514887165-ahirsa.png

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

En gros, considérons l'ensemble A de tous les énoncés qui ont un sens et qui sont vrais. Plaçons-nous dans une théorie raisonnable. Alors :

  1. on ne peut pas calculer cet ensemble dans sa globabilité ;
  2. pire, on peut trouver un énoncé bien précis tel que l'appartenance de cet énoncé à A ne soit pas décidable (Gödel) ;
  3. mais pire encore... il se trouve qu'on ne peut même pas définir cet ensemble A à l'intérieur de la théorie !

Cet ensemble n'est pas seulement dur à cerner au point qu'on a du mal à étudier cet objet bien défini : il est tellement dur à cerner que le définir est déjà trop dur pour nous https://image.noelshack.com/fichiers/2016/50/1481878288-asile2.jpg

Cimer Tarski https://image.noelshack.com/fichiers/2022/14/1/1649074102-vieuxahi.png

EI

EIBougnador

il y a 7 mois

"l'a prouvé" : a prouvé incomplétude-Gödel ou indéfinissabilité-Tarski ?
"qui l'ont poussé à construire son théorème" : qui ont poussé qui à construire quel théorème ?