1) |sin2(xt)/ t^2 | = 1/t^2 qui est intégrable en plus infini
En 0 c'est continue donc pas de soucis,
(Sin^2(xt) = (xt)^2 + o t^2 ) Par passage a la limite ok
2) c'est vraiment juste des changements de variables il faut savoir le faire tout seul.

3) c'est l'inégalité des accroissements finis

4) il faut appliquer les hypothèses de dérivabilité sous le signe somme.

Tu dérives selon x, dans ton intégral.
Une chose assez évidente, deja c'est de vérifier que ta fonction dans l'intégrale est C1 pour x, c'est vraiment un prérequis.
Bon maintenant, pour bien comprendre et te souvenir de ces hypothèses, tu te places dans le cas des sommes de fonctions, S(x) somme infini fn(x) tu veux montrer que c'est dérivable. Une chose vraiment claire c'est que tu vas devoir majorer uniformément fn' par une suite gn qui est sommable. La c'est la même chose, mais dans le cadre des intégrales, donc au lieu davoir n, tu as des t, et tu dois majorer par une fonction dépendant de t qui est intégrable.
Le problème c'est de trouver une fonction intégrable qui va te majorer sur tout 0 +infini
Il te demande donc de le montrer sur un intervalle, parce que sur cet intervalle, ça va te donner de la compacité, des majorations plus faciles, et de l'intégralité plus simple.
Donc vu que c'est pour tout A > 0 que c'est C1 alors ça l'est sur 0, infini au final

Maintenant t'as ta fonction dérivée explicitement.
En fait elle va vérifier exactement une equa diff.
Cette equa diff tu vas pouvoir la résoudre elle va te donner exactement une solution dépendant de x qui sera en fait donc une fonction sqns plus d'intégrale, il y aura égalité entre les deux.
Donc c'est cool parce que t'as plus cette fonction qui dépend d'une intégrale.
Ensuite la suite il faut avoir le contexte je pense et utiliser une feuille et un crayon