Je vais essayer de te faire une réponse claire.

La fonction publique peut se diviser en 3 catégories :
1 Fonction publique d'État (quand l'agent dépend d'un ministère directement ou via une institution déconcentrée et qu'il est payé sur le budget de l'État)
2 Fonction publique territoriale (quand l'agent dépend d'une collectivité territoriale et qu'il est payé sur le budget de cette dernière)
3 Fonction publique hospitalière dont je ne vais pas parler

Les postes de la fonction publique sont divisés en trois catégories qui définissent la hiérarchie, le traitement, ou encore les conditions de présentation aux concours. Si tu as entre BAC+3 et BAC+5 (selon les concours) tu pourras te présenter à un concours de catégorie A (enseignement, officier de police, magistrature, inspecteur des finances publiques, etc.), si tu as entre le BAC et BAC+2 tu pourras te présenter à un concours de catégorie B (gardien de la paix, gendarme, contrôleur des finances publiques, etc.), si tu as moins que le BAC il reste encore quelques concours de catégorie C dans la fonction publique d'État (agent d'accueil généralement), mais les catégories C sont largement présents dans la territoriale.

Si tu souhaites rester dans une ville précise tu n'as pas le choix il faudra passer un concours de la FP territoriale puisque c'est le seule qui te permet de démarcher une collectivité pour qu'elle devienne ton employeur. Il s'agira de la municipalité de Dijon, d'une municipalité autour, voire du conseil départemental.
Dans la fonction publique d'État, tu es envoyé là où il y a un poste pour toi partout en France.

Le problème avec la fonction publique territoriale c'est que les postes les plus confortables en catégorie C sont saturés et qu'après deux ans (renouvelable une fois) sans avoir trouvé un recruteur tu perds le bénéfice de ton concours (donc tu dois le passer à nouveau). Par exemple magasinier de bibliothèque c'est à peu près certain qu'hors piston familial tu n'auras pas de poste, c'est des places qui partent souvent à des diplômés du supérieur eux-mêmes en attente d'un cat. B en bibliothèque. Les petits postes en accueil sont souvent cédés à des personnes qui ont des contacts, etc. Là où tu as le plus de chances de trouver c'est comme agent technique.

Concernant les postes de contractuels, il y en a beaucoup c'est vrai, et ils peuvent déboucher sur une titularisation, mais c'est loin d'être systématique dans les postes les plus planqués puisque la demande est forte et qu'un besoin de contractuel sera généralement sur une période courte le temps pour la collectivité de faire face à un évènement particulier ou un imprévu.