La théorie des topos, la catégorie des faisceaux étales sur un site de Grothendieck, les axiomes de Giraud, le préfaisceau des foncteurs contravariants d'une sous-catégorie de C vers la catégorie des ensembles, le point qui devient un faisceau ouvert sur un espace topologique, la topologie sans points et l'algèbre de Heyting etc.

Les trois notions fondamentales pour appréhender le topos sont cependant celles-ci : la théorie des schémas, la théorie des catégories et la logique intuitionniste

Ces conceptions très modernes des mathématiques fondamentales ouvrent sur des considérations métaphysiques très surprenantes : on peut se passer du principe du tiers exclu, il n'y a plus de vérité absolue mais des valeurs de vérité ; à l'instar du monde quantique, c'est la transition d'une géométrie (donc un espace topologique) commutative vers une géométrie non commutative, celle du monde subatomique qui fonde notre monde, qui permet l'émergence du temps et qui donne un caractère aléatoire sur ce qui peut étre ou ne pas être ; enfin, l'axiome d'existence n'est pas transcendental, en d autres termes on peut construire une axiomatique cohérente, qui autorise l'ensemble vide, avec des propositions indécidables qui en émergent, à partir d'un postulat erroné de départ (concrètement, rien ne saurait décider LOGIQUEMENT entre un existant primordial, fondant un ensemble muni dr l'algèbre booléenne, qui est cause de lui-même et un autre qui a besoin de l'axiome d'existence comme cause première, mais qui fonde pourtant le même "univers" avec la même algèbre et ses lois opératives).

Je vous conseille de lire Récoltes et Semailles de Grothendieck, les notes du séminaire de 1964 (avec notamment Grothendieck, Artin, Deligne) sur la géométrie algébrique et la cohomologie étale, et de visionner la conférence "un topo sur les topos" d'alain connes (disponible sur youtube) afin d'approfondir ce sujet