Alors, je suis face à ce problème de probabilité. Il dit que chaque jour, j'ai une chance sur deux de gagner au loto, et ça se passe sur une période de 17 jours. Les questions sont :

1) Calculer la probabilité de gagner au loto seulement après le 5e jour.

2) Pareil, mais après 10 jours.

Okay, première chose, je dois comprendre ce que signifie "gagner seulement après le 5e jour". Ça veut dire que je n'ai pas gagné les jours 1 à 5, et que je gagne pour la première fois après le 5e jour, c'est-à-dire au 6e jour ou après.

Attends, non, lu plus attentivement, c'est "seulement après le 5e jour", ce qui signifie que la première victoire se produit après le 5e jour. Donc, les jours 1 à 5, je n'ai pas gagné, et la première victoire est au 6e jour ou après.

Ou attends, non, "seulement après le 5e jour" pourrait aussi être interprété comme gagner à partir du 6e jour, mais pas nécessairement la première victoire seulement après le 5e jour. Mais je pense que la formulation "seulement après le 5e jour" signifie que la première victoire est après le 5e jour.

Pour être sûr, je vais interpréter la question comme : la probabilité que la première victoire se produise après le 5e jour, c'est-à-dire que je n'ai pas gagné du jour 1 au jour 5, et que je gagne pour la première fois après le 5e jour.

De même pour la seconde question, c'est après le 10e jour.

Donc, pour la première question, je dois calculer la probabilité que les premières 5 tentatives soient des échecs, et que la première victoire se produise dans les jours suivants.

Mais attends, la période est de 17 jours, donc si je n'ai pas gagné du jour 1 au jour 5, et que je gagne pour la première fois entre le jour 6 et le jour 17.

Ou, si je veux la probabilité de gagner seulement après le 5e jour, c'est la probabilité que les premières 5 tentatives soient des échecs, et qu'au moins une victoire se produise dans les 12 jours restants.

Mais je pense que la formulation "seulement après le 5e jour" signifie que la première victoire est après le 5e jour, donc les premières 5 tentatives sont des échecs, et au moins une victoire dans les jours suivants.

Ou, pour être plus précis, la première victoire est après le 5e jour.

Donc, pour calculer ça, je peux calculer la probabilité que la première victoire arrive après le 5e jour.

Ça serait égal à 1 minus la probabilité que la première victoire arrive avant ou pendant le 5e jour.

En d'autres termes, P(première victoire > 5) = 1 - P(première victoire < 5).

De même pour la seconde question, P(première victoire > 10) = 1 - P(première victoire < 10).

Donc, je dois calculer P(première victoire < 5) et P(première victoire < 10).

Maintenant, la probabilité de gagner chaque jour est de 1/2, et les jours sont indépendants.

Donc, la probabilité de gagner à un jour donné est p = 1/2, et la probabilité de perdre est q = 1 - p = 1/2.

Maintenant, la probabilité que la première victoire arrive au kème jour est égale à q^(k-1) * p.

C'est la distribution géométrique.

Donc, P(première victoire = k) = (1/2)^(k-1) * (1/2) = (1/2)^k.

Donc, P(première victoire < n) est la somme pour k de 1 à n de (1/2)^k.

Ou, alternativement, puisque c'est une distribution géométrique, P(première victoire > n) = q^n = (1/2)^n.

Attends, oui, c'est plus simple.

Car P(première victoire > n) = q^n, car il faut avoir perdu les n premiers jours.

Donc, P(première victoire > 5) = (1/2)^5 = 1/32.

Donc, P(première victoire > 5) = 1/32.

De même, P(première victoire > 10) = (1/2)^10 = 1/1024.

Donc, pour la première question, la probabilité de gagner seulement après le 5e jour est 1/32.

Pour la seconde question, c'est 1/1024.

Attends, mais je me demande si c'est bien interprété.

Car la période est de 17 jours, mais comme p = 1/2, et que les jours sont indépendants, la probabilité de n'avoir pas gagné dans les 5 premiers jours est bien (1/2)^5 = 1/32.

De même, pour la seconde question, (1/2)^10 = 1/1024.

Mais je me demande si la période de 17 jours influence somehow ce calcul.

Ou si la période de 17 jours impose une limite supérieure.

Attends, si la période est de 17 jours, et que je veux gagner seulement après le 5e jour, ça signifie que la première victoire est entre le 6e et le 17e jour.

Donc, ce n'est pas simplement (1/2)^5, car cela inclurait la possibilité de ne jamais gagner dans les 17 jours.

Donc, peut-être que je dois prendre en compte que la période est de 17 jours, et que Beyond le 17e jour, je ne joue plus.

Donc, dans ce cas, la probabilité de gagner seulement après le 5e jour serait la probabilité de n'avoir pas gagné dans les 5 premiers jours, et d'avoir gagné au moins une fois entre le 6e et le 17e jour.

Donc, dans ce cas, la probabilité de gagner seulement après le 5e jour serait la probabilité de n'avoir pas gagné dans les 5 premiers jours, et d'avoir gagné au moins une fois entre le 6e et le 17e jour.

Il y a 17 - 5 = 12 jours restants.

Donc, la probabilité totale est (1/32) * (4095/4096) = (4095)/(32 * 4096) = 4095/131072 +-= 0.03125.

Attends, mais je me demande si c'est correct.

Car la probabilité de gagner seulement après le 5e jour est la probabilité que les premiers 5 jours soient des échecs, et qu'au moins un des 12 jours restants soit une victoire.

Donc, (1/2)^5 * (1 - (1/2)^12) = (1/32) * (1 - 1/4096) = (1/32) * (4095/4096) = 4095 / 131072.

De même, pour la seconde question, après 10 jours, il y a 17 - 10 = 7 jours restants.

Donc, la probabilité est (1/1024) * (127/128) = 127 / 131072.

Cela semble correct.

Mais je me demande pourquoi j'hésite.

Peut-être parce que je me souviens qu'en théorie des probabilités, pour des événements indépendants, la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités individuelles.

Donc, oui, P(A et B) = P(A) * P(B), si A et B sont indépendants.

Donc, oui, la formule est correcte.

Alternativement, je peux penser en termes de distribution binomiale.

Mais je pense que ma première approche est correcte.

Donc, pour la première question, la probabilité est 4095 / 131072 +-= 0.03125.

Pour la seconde question, 127 / 131072 +-= 0.000969.

Mais je me demande si il y a une autre façon de voir ça.

Par exemple, pour la première question, la probabilité de gagner seulement après le 5e jour est égale à la probabilité que la première victoire arrive au 6e jour ou après.

Donc, P(première victoire > 6) = (1/2)^5 = 1/32.

Attends, non, P(première victoire > 5) = (1/2)^5 = 1/32.

Mais attendez, ça ne correspond pas à mon calcul précédent.

Donc, il y a une contradiction.

Je dois résoudre ça.

D'après la distribution géométrique, P(première victoire > n) = q^n = (1/2)^n.

Donc, P(première victoire > 5) = (1/2)^5 = 1/32.

Mais d'autre part, selon mon premier raisonnement, c'est (1/32) * (4095/4096) = 4095/131072 +-= 0.03125, ce qui est presque 1/32, mais pas exactement.

Attends, 4095/131072 est environ 0.03125, qui est 1/32.

En fait, 1/32 est exactement 0.03125.

Donc, 4095/131072 est très proche de 1/32.

En fait, 1/32 est 4096/131072.

Donc, 4095/131072 est presque 1/32, mais légèrement moins.

La différence est de 1/131072.

Je pense que la confusion vient de la période limitée de 17 jours.

Car si la période était infinie, alors P(première victoire > n) = (1/2)^n.

Mais ici, la période est de 17 jours, donc la probabilité de gagner seulement après le 5e jour est la probabilité de n'avoir pas gagné dans les 5 premiers jours, et d'avoir gagné au moins une fois dans les 12 jours restants.

Donc, c'est (1/2)^5 * (1 - (1/2)^12) = (1/32) * (4095/4096) = 4095/131072.

Si la période était infinie, alors la probabilité serait simplement (1/2)^5 = 1/32.

Mais compte tenu de la période limitée à 17 jours, la probabilité est légèrement inférieure à 1/32, car il y a la possibilité que je n'aie pas gagné dans les 12 jours restants.

Donc, la formule correcte, compte tenu de la période limitée, est (1/2)^5 * (1 - (1/2)^12).

Donc, ma première approche est correcte.

De même, pour la seconde question, c'est (1/2)^10 * (1 - (1/2)^7).

Donc, pour la première question, la probabilité est 4095 / 131072.

Pour la seconde question, c'est 127 / 131072.

Je pense que c'est la réponse finale.