Oui, toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est somme d'une matrice diagonale \( D \) et d'une matrice nilpotente \( N \). Ce résultat est une conséquence du fait que le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Voici une démonstration succincte de ce fait :

1. 1. 1. Démonstration :

1. **Théorème de Jordan** :
Toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est semblable à une matrice sous forme normale de Jordan \( J \), c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible \( P \) telle que \( A = PJP^{-1} \). La forme de Jordan \( J \) est composée de blocs de Jordan.

2. **Décomposition de Jordan** :
La matrice \( J \) (ou \( A \), par équivalence) peut être écrite comme la somme de deux matrices :
\[
J = D + N
\]
où :
- \( D \) est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de \( A \) sur sa diagonale.
- \( N \) est une matrice nilpotente (les blocs de Jordan de taille \( k > 1 \) génèrent des termes au-dessus de la diagonale).

La nilpotence de \( N \) provient du fait qu'elle est strictement triangulaire supérieure lorsqu'on enlève les termes diagonaux de \( J \).

3. **Retour à la matrice initiale** :
Comme \( A = PJP^{-1} \), on obtient \( A = P(D + N)P^{-1} = PD P^{-1} + PN P^{-1} \). En posant :
- \( D' = PD P^{-1} \) (matrice diagonale semblable à \( D \)),
- \( N' = PN P^{-1} \) (matrice nilpotente semblable à \( N \)),

on a \( A = D' + N' \), où \( D' \) est diagonale et \( N' \) est nilpotente.

1. 1. 1. Conclusion :

Toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est la somme d'une matrice diagonale \( D' \) et d'une matrice nilpotente \( N' \). Ce résultat repose essentiellement sur les propriétés du corps des complexes et la décomposition en blocs de Jordan.