Le raisonnement derrière l'idée selon laquelle "100 % des Français descendent de Charlemagne" repose sur des principes mathématiques et de généalogie liés au concept de l'**explosion des ancêtres** et au **paradoxe des ancêtres communs**. Voici un détail du calcul et des hypothèses sous-jacentes :

1. 1. 1. 1. **L'explosion des ancêtres**

Le nombre d'ancêtres d'une personne double à chaque génération. En effet, chacun de nous a :
- 2 parents,
- 4 grands-parents,
- 8 arrière-grands-parents,
- 16 arrière-arrière-grands-parents, etc.

Cela signifie qu'après *n* générations, vous avez potentiellement \(2^n\) ancêtres directs.

1. 1. 1. 2. **Nombre d'ancêtres potentiels après plusieurs générations**

Prenons quelques exemples pour estimer combien d'ancêtres potentiels vous avez en remontant le temps. Une génération est généralement estimée à environ 25 ans.

- **1ère génération (vos parents)** : \(2^1 = 2\) ancêtres (2 parents)
- **2ème génération (vos grands-parents)** : \(2^2 = 4\) ancêtres
- **3ème génération (arrière-grands-parents)** : \(2^3 = 8\) ancêtres
- ...
- **10ème génération (~250 ans dans le passé)** : \(2^{10} = 1 024\) ancêtres
- **20ème génération (~500 ans dans le passé)** : \(2^{20} = 1 048 576\) ancêtres
- **40ème génération (~1 000 ans dans le passé)** : \(2^{40} = 1 099 511 627 776\) ancêtres

• • Problème :** Il y a un moment où le nombre théorique d'ancêtres dépasse largement la population mondiale de l'époque. Par exemple, autour de l'an 800 (l'époque de Charlemagne), la population totale en Europe était bien inférieure à un milliard d'individus. En France, elle était probablement d'environ 10 à 15 millions. Cela montre que de nombreuses personnes ont des ancêtres communs.

1. 1. 1. 3. **La coalescence des ancêtres**

Ce phénomène conduit au fait que, bien qu'on puisse avoir théoriquement des milliards d'ancêtres potentiels en remontant loin dans le passé, la réalité est que beaucoup de ces ancêtres sont les mêmes personnes, c'est-à-dire que certaines personnes apparaissent plusieurs fois dans votre arbre généalogique à cause des mariages consanguins ou d'unions entre cousins éloignés.

C'est ce qu'on appelle **l'ancêtre commun récent (MRCA, Most Recent Common Ancestor)** et les **ancêtres universels**. Des études généalogiques et des modélisations mathématiques suggèrent qu'en remontant seulement 1 000 à 1 200 ans en arrière, une grande partie des personnes ayant vécu à cette époque sont des ancêtres communs à une majorité des populations actuelles en Europe.

1. 1. 1. 4. **La probabilité de descendre de Charlemagne**

Charlemagne a eu de nombreux descendants, dont beaucoup ont donné naissance à d'autres lignées nobles et non nobles dans l'Europe médiévale. Au fil des siècles, ces lignées se sont largement propagées et diluées dans la population. Étant donné le nombre de descendants de Charlemagne, et la coalescence des ancêtres au fil du temps, il est probable qu'une très large majorité des personnes d'origine européenne, et donc des Français, aient Charlemagne quelque part dans leur arbre généalogique.

1. 1. 1. Exemple numérique pour estimer la descendance de Charlemagne :

1. Charlemagne est né en 747 et est mort en 814.
2. Il a eu 18 enfants connus et plusieurs petits-enfants.
3. Supposons qu'en moyenne, ses descendants ont eu 3 à 5 enfants par génération, sur environ 40 générations (ce qui représente un peu moins de 1 200 ans).

Si nous supposons que chaque génération de descendants a eu environ 4 enfants en moyenne, et que seule une fraction de ceux-ci a survécu et eu des descendants à leur tour, le nombre de descendants de Charlemagne après 40 générations peut être énorme.

Ainsi, même avec une croissance modérée, le nombre total de descendants de Charlemagne pourrait se chiffrer en dizaines de millions, voire en centaines de millions.

1. 1. 1. 5. **Conclusions basées sur la coalescence et les ancêtres communs**

Grâce à la coalescence des ancêtres et au fait que la population européenne à l'époque de Charlemagne était beaucoup plus petite qu'aujourd'hui, on peut raisonnablement supposer que Charlemagne est l'ancêtre commun de la plupart des Européens modernes, y compris des Français.

- **Ancêtre commun récent (MRCA)** : Selon des modélisations, le MRCA des Européens a vécu il y a 600 à 1 000 ans, ce qui correspond à l'époque de Charlemagne.
- **Ancêtres universels** : En remontant 1 000 à 1 500 ans, presque tout individu vivant à cette époque en Europe ou en Asie occidentale a laissé une trace génétique chez la majorité de la population actuelle.

Ainsi, **statistiquement**, il est très probable que 100 % des Français descendent de Charlemagne ou d'autres personnages de la même époque, même si tous les individus ne peuvent pas tracer précisément leur arbre généalogique jusqu'à lui.