Pour expliquer l'expression \( \frac{A}{B(C+D)} = x \) en utilisant des concepts avancés tels que les dérivées, nous allons explorer comment la fonction change par rapport à ses variables. Supposons que \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \) sont des fonctions continues et différentiables. Nous chercherons à dériver \( x \) par rapport à \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \).

1. 1. 1. Dérivée par rapport à \( A \)

La relation est:
\[ x = \frac{A}{B(C + D)} \]

Pour trouver la dérivée de \( x \) par rapport à \( A \), nous utilisons la règle de la dérivée d'une fraction où seule la numérateur \( A \) change:
\[ \frac{\partial x}{\partial A} = \frac{1}{B(C + D)} \]

1. 1. 1. Dérivée par rapport à \( B \)

Pour trouver la dérivée de \( x \) par rapport à \( B \), nous utilisons la règle du quotient:
\[ x = A \cdot (B(C + D))^{-1} \]

En utilisant la règle de la dérivée du produit et la règle de la chaîne, nous obtenons:
\[ \frac{\partial x}{\partial B} = A \cdot (-1) \cdot (B(C + D))^{-2} \cdot (C + D) = -\frac{A(C + D)}{B^2(C + D)^2} = -\frac{A}{B^2(C + D)} \]

1. 1. 1. Dérivée par rapport à \( C \)

Pour trouver la dérivée de \( x \) par rapport à \( C \), nous considérons que \( C \) n'apparaît que dans la partie \( (C + D) \):
\[ \frac{\partial x}{\partial C} = \frac{A}{B(C + D)^2} \cdot (-B) = -\frac{A}{B(C + D)^2} \]

1. 1. 1. Dérivée par rapport à \( D \)

La dérivée de \( x \) par rapport à \( D \) suit un raisonnement similaire à celle par rapport à \( C \), puisque \( D \) n'apparaît également que dans la partie \( (C + D) \):
\[ \frac{\partial x}{\partial D} = \frac{A}{B(C + D)^2} \cdot (-B) = -\frac{A}{B(C + D)^2} \]

1. 1. 1. Résumé des dérivées

- Dérivée de \( x \) par rapport à \( A \):
\[ \frac{\partial x}{\partial A} = \frac{1}{B(C + D)} \]

- Dérivée de \( x \) par rapport à \( B \):
\[ \frac{\partial x}{\partial B} = -\frac{A}{B^2(C + D)} \]

- Dérivée de \( x \) par rapport à \( C \):
\[ \frac{\partial x}{\partial C} = -\frac{A}{B(C + D)^2} \]

- Dérivée de \( x \) par rapport à \( D \):
\[ \frac{\partial x}{\partial D} = -\frac{A}{B(C + D)^2} \]

Ces dérivées montrent comment \( x \) change par rapport à chacune des variables \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \). En pratique, ces dérivées pourraient être utilisées pour analyser la sensibilité de \( x \) à des changements dans chacune de ces variables, ce qui peut être particulièrement utile dans des contextes tels que l'optimisation ou la modélisation de systèmes physiques.