En 0 la forme du potentiel, le potentiel c'est un un champ scalaire, càd qu'en chaque point de l'espace ça te donne une valeur (un chiffre). La valeur en un point pourra être utilisé pour déduiree, par exemple, l'intensité d'une force qui agirait à cet endroit si tu mettais ta particule.

En 1 : la forme de la fonction d'onde, c'est la fonction qui décrit le comportement du système en fonction du temps (t) et de sa position dans l'espace (le vecteur r)

En 2 : on met la fonction d'onde dan l'équation de Schrödinger, aucun calcul n'a été fait. Tu dois avoir l'équation de schrödinger dans ton cours, le prof a juste remplacé la fonction Psi (le trident là).

Partie trois, le prof a divisé chaque côté par A (le truc en vert) puis il a simplifié.
Il a pu simplifier comme ça :
Le Nabla au carré, aussi appelé Laplacien, c'est un opérateur SPATIAL, ça ne dépend pas du temps, ça veut dire que tout ce qui est devant lui et ne dépend pas de l'espace, peut en être sorti. Donc la composante temporelle Xi(t) peut en sortir et être simplifiée par le terme Xi(t) que tu as ajouté au dénominateur en divisant tout par A (le truc vert). Idem pour la partie droite de l'équation 3, la dérivée partielle par rapport au temps t n'agit pas sur les fonctions qui dépendent que de l'espace, donc la fonction Phi(r) (le o barré) peut être simplifiée.

A partir de 3, on comprend qu'on a à gauche un terme qui dépend que de l'espace et à droite un terme qui dépend que du temps. Pour que ça soit possible, la seule solution est que ces deux parties soient elles-mêmes égales à une constante. Le prof a appelé cette constante E. C'est comme ça qu'il a écrit la partie 4.

En 6 tu as la solution triviale à l'équation différentielle du premier ordre en 5.

En 7, le prof a mis la solution 6 dans 0, il a juste remplacé Xi(t) par son expression donnée en 6.

edit : note que cette séparation en deux équations indépendantes n'est possible que parce que ton prof a fait l'hypothèse que le potentiel V(r) était indépendant du temps (il n'est pas du type V(r,t)).