Pour démontrer que \(\pi\) est un endomorphisme involutif pseudo-radical lorsqu'il est restreint à l'espace topologique des classes de congruence des entiers strictement positifs, muni de la topologie cofinie hyperbolique, nous devons d'abord clarifier certains concepts et hypothèses.

1. 1. 1. Concepts et Hypothèses

1. **Espace topologique des classes de congruence des entiers strictement positifs**:
- Cet espace est constitué des classes d'équivalence des entiers strictement positifs sous une certaine relation de congruence.
- Par exemple, pour un entier \( n \), les classes de congruence modulo \( n \) sont les ensembles \(\{ k \in \mathbb{Z}^+ \mid k \equiv a \pmod{n} \}\) pour \( a \in \{0, 1, \ldots, n-1\} \).

2. **Topologie cofinie hyperbolique**:
- La topologie cofinie sur un ensemble \( X \) est définie de sorte que les ouverts sont les ensembles dont le complémentaire est fini.
- La notion "hyperbolique" ici pourrait faire référence à une structure ou une propriété supplémentaire, mais sans définition précise, nous considérerons la topologie cofinie standard.

3. **Endomorphisme involutif**:
- Un endomorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
- Involutif signifie que l'application \( f \) satisfait \( f \circ f = \text{id} \), c'est-à-dire \( f(f(x)) = x \) pour tout \( x \).

4. **Pseudo-radical**:
- Ce terme n'est pas standard en mathématiques. Il pourrait faire référence à une propriété spécifique dans le contexte donné, mais sans définition précise, nous allons nous concentrer sur les propriétés d'endomorphisme et d'involution.

1. 1. 1. Démonstration

Pour démontrer que \(\pi\) est un endomorphisme involutif, nous devons vérifier les propriétés suivantes :

1. **Endomorphisme**:
- \(\pi\) doit être une application linéaire de l'espace des classes de congruence dans lui-même.
- Si \(\pi\) est défini comme une fonction sur les classes de congruence, nous devons vérifier que \(\pi(a + b) = \pi(a) + \pi(b)\) et \(\pi(ka) = k\pi(a)\) pour des scalaires \( k \).

2. **Involutif**:
- Nous devons montrer que \(\pi(\pi(x)) = x\) pour toute classe de congruence \( x \).

1. 1. 1. Vérification

1. **Linéarité**:
- Supposons que \(\pi\) est une fonction qui respecte la structure des classes de congruence. Par exemple, si \(\pi\) est défini comme une permutation des classes de congruence, nous devons vérifier que cette permutation est linéaire.
- Sans une définition explicite de \(\pi\), nous ne pouvons pas vérifier cette propriété directement.

2. **Involution**:
- Si \(\pi\) est une permutation des classes de congruence, nous devons vérifier que l'application de \(\pi\) deux fois ramène à l'identité.
- Par exemple, si \(\pi\) échange deux classes de congruence \( a \) et \( b \), alors \(\pi(\pi(a)) = \pi(b) = a\).

1. 1. 1. Conclusion

Sans une définition précise de \(\pi\) et de la topologie cofinie hyperbolique, nous ne pouvons pas fournir une démonstration complète. Cependant, les étapes générales pour vérifier que \(\pi\) est un endomorphisme involutif impliquent de vérifier la linéarité et la propriété d'involution. Si vous avez des définitions plus précises ou des hypothèses supplémentaires, je pourrais vous aider davantage.