Niveau 1 :
Vrai : si n est impair alors n² est impair (car, si n = 2k+1 avec k entier, alors n² = (2k+1)² = 2m+1 avec m = 2k²+2k entier). La conclusion se fait par contraposition.

Niveau 2 :
Faux : de façon informelle, 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...+1/15+... > 1+1/2+1/2+1/4+1/4+1/4+1/4+1/8+...+1/8+... = 1+1/2+1/2+1/2+1/2+... = infini. C'est très chiant d'écrire la preuve rigoureusement donc j'ai la flemme, mais en gros on applique le critère de comparaison des séries à termes positifs.

Niveau 3 :
Déjà, on peut supposer que A est positif car si c'est vrai pour A, ça l'est pour -A aussi. Ensuite, on fait une récurrence sur A. C'est évident si A = 1. Si c'est vrai pour A entier positif quelconque, alors (A+1)^p = A^p + somme des (k parmi p)*a^k pour k entre 1 et p-1 + 1, or A^p = A mod p par hypothèse de récurrence, et pour tout k entre 1 et p-1, (k parmi p) = 0 mod p (conséquence du lemme de Gauss), donc (A+1)^p = A+0+1 = A+1 mod p, donc l'hérédité est vraie, cqfd.

Niveau 4 :
Hypothèse du continu gros taré. C'est indécidable.

Niveau 5 :
C'est vrai mais j'ai la flemme d'écrire la preuve de Perelman.

Niveau 6 :
C'est l'hypothèse de Riemann toujours pas démontrée à ce jour.