Les triangles ABC et ABD sont équilatéraux par hypothèse.
On considère le pavage du plan par triangles équilatéraux contenant les triangles ABC et ABD. En regroupant les triangles 2 par 2 on obtient aussi un pavage en losanges.
Le symétrique E' de B par rapport à A est un sommet du pavage. On a AE'=AB=AD puisque B et E' sont symétriques par rapport à A. De plus, CD et CE' sont des "diagonales" de losanges du pavqge, donc de même longueur (=AB*racine(3)).
L'intersection des cercles C_1 et C_3 contient donc les points B et E', qui sont différents, donc E'=E, et E est le symétrique de B par rapport à A.