Soit (xn) une suite de Cauchy.

Soit epsilon > 0, soit N > 0 tel que pour tout n, p> N on ait d(xn,xp)<eps.
Alors |xn-xp|+|1/xn-1/xp| < eps
Donc en particulier |xn-xp|< eps et la suite est de Cauchy pour la distance euclidienne usuelle.
Donc elle converge pour cette distance usuelle, vers une limite que je nomme x.
Montrons qu'elle converge aussi vers x vis à vis de la distance d.

Tout d'abord, remarquons que x =/=0. On peut procéder par l'absurde : si x=0 alors notre suite n'est pas de Cauchy pour d, puisque si on fixe n, alors la valeur de |1/xn-1/x(n+p)| peut être arbitrairement grande.

Maintenant que l'on sait que x=/= 0 il suffit de remarquer que la suite (1/xn) (on omet les termes pour lesquels xn=0) converge vers 1/x pour ka distance usuelle.
A partir de là il est clair que |xn-x|+|1/xn-1/x| tend bien vers 0, comme somme de suites qui convergent vers 0.