Les axiomes ne sont pas légitimés exclusivement par leur bien-fondé a priori. Il y a également de possibles jugements a posteriori.

Par exemple, tu peux être agnostique des axiomes des mathématiques actuelles. Mais bon, quand tu vois, tout ce qu'on peut faire avec ces maths, tous les théorèmes qu'on parvient à démontrer et qui trouvent des applications jusque dans la physique, la biologie, les technologies, ça donne bien l'impression que le noyau dur tombe juste.

Noter qu'il y a deux trucs un peu séparés dans ce que je viens de dire : les théorèmes et les applications réelles.

Pensons aux théorèmes, tout d'abord. Si tes axiomes permettent de démontrer plein de théorèmes, c'est cool ! Tu as une théorie mathématique avec de belles ramifications, c'est sympa. Bien sûr, quand je dis cela, j'ai en tête que tu ne parviens pas en pratique à trouver une contradiction dans ta théorie, auquel cas oui tu peux démontrer plein de théorèmes mais si tu peux démontrer un théorème et son contraire, bof la théorie. Dans cette optique, ce qu'on exige des axiomes, c'est qu'ils forment un tout cohérent (qu'ils ne parviennent pas d'atteindre de contradiction). Démontrer la cohérence est généralement hors de portée mais au moins ne jamais parvenir à trouver de contradiction, même quand on essaye, c'est un premier signe de robustesse.

Dans cette première optique, la question est celle de la cohérence plutôt que celle du vrai et du faux. On n'est pas en train de dire qu'il y a des objets réels (des droites ou des ensembles) et que ces objets réels vérifient vraiment les axiomes. On est en train de dire "imaginons des objets idéaux et je définis ce monde imaginaire comme régi par les axiomes". Dans cette approche, les axiomes jouent un rôle de définition et l'enjeu est la cohérence interne du monde imaginaire.

Passons maintenant aux applications. Là, c'est autre chose. Si tu fais par exemple de la géométrie et que ton but est de l'appliquer dans la vraie vie, là, la question est de savoir si ton axiome, interprété IRL, est toujours vrai (ou suffisamment vrai pour que l'étape d'idéalisation mathématique reste pertinente, proche de la réalité). Dans cette approche, les axiomes jouent un rôle de postulat et l'enjeu est leur validité, le fait qu'ils soient vrais IRL.

En fait, en pratique, on construit les théories mathématiques (par exemple, géométrie, probabilités) sur un socle d'un nombre limité d'axiomes, ceux de la théorie des ensembles. Le rapport entre la géométrie (par exemple) et la réalité ne dépend alors pas que des axiomes de la théorie des ensembles : cela dépend certes des axiomes de la théorie des ensembles mais aussi de comment on définit les mots "droite", "plan", "point" dans le langage de la théorie des ensembles. Si on s'intéresse à la validité IRL de la géométrie, il convient de se convaincre que, dans le monde imaginaire défini par la théorie des ensembles, les définitions de "droite", "plan" et "point" interagissent de la façon attendue, reflet fidèle de la réalité. A ce titre, les définitions peuvent jouer à leur tour un rôle d'axiome : si on définit une notion pour rendre compte d'une réalité, il s'agit de se persuader que tel est bien le cas