Souvent il faut raisonner par double implications,
Première implication :

A inter B barre est vide donc aucun élément de A n'est inclus dans B barre, Si A et B sont deux sous ensembles de E alors chaque élément de E qui n'appartient pas à B barre appartient à B hors chaque élément de A appartient à E et n'appartient pas à B barre donc Chaque élément de A appartient à B, donc A est inclu dans B

Deuxième implication : chaque élément appartement à A est inclus dans B donc A inter B est égal à A donc A inter B barre est inclus dans B inter B barre qui est vide par définition donc A inter B barre est vide